动能定律与机械能守恒定律的联系与区别（例题）

摘要

能量守恒是贯穿整个物理学的一条主线，也是解决力学综合问题的基本途径之一。另外的两个重要途径，一个是牛顿运动定律，一个是动量。

动能定理和机械能守恒定律是能量观中的两个最基本的定律，同时也是高中物理中最重要的定律之一，是每年高考试题的必考点。

这两个定律既有联系又有区别，很多初学者对两个定律的区别与联系掌握的不够透彻，在使用时容易概念混淆、出现错误。在这里，笔者通过一道例题给大家做个说明，并对两者的区别做个总结。如下：

例题

如下图2，质量为m1的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m2的物体B相连，弹簧的劲度系数为k，A、B都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩。开始时各段绳都处于伸直状态，A上方的一段绳沿竖直方向。现在挂钩上挂一质量为m3的物体C并从静止状态释放，已知它恰好能使B离开地面但不继续上升。

若将C换成另一个质量为（m1+m3）的物体D，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B刚离地面时D的速度的大小是多少？已知重力加速度为g。

解析

方法1：机械能守恒定律

开始时，A、B静止，设弹簧压缩量为x1，有kx1=m1g，挂C并释放后，C向下运动，A向上运动，设B刚要离地时弹簧伸长量为x2，有kx2=m2g；B不再上升，表示此时A和C的速度为零，C已降到其最低点。

由机械能守恒与初始状态相比，弹簧性势能的增加量为△E=m3g(x1+x2)－m1g(x1+x2)；C换成D后，当B刚离地时弹簧势能的增量与前一次相同，由机械能守恒定律得

解得：

方法2：动能定理

开始时，A、B静止，设弹簧压缩量为x1，kx1＝m1g。挂C并释放后,C向下运动，A向上运动，设B刚要离地时弹簧伸长量为x2，有kx2＝m2g 。B不再上升，表示此时A和C的速度为零，C已降到其最低点。

取A、C和弹簧为系统，由质点组动能定理有：m3g(x1＋x2)－m1g(x1＋x2) -△E＝0；C换成D后，当B刚离地时弹簧势能的增量与前一次相同，由质点组动能定理得：

解得：

结论

通过例题我们可以看出，研究对象为一个系统（地球除外），且符合机械能守恒条件时，动能定理和机械能守恒定律都可以用；否则只能运用动能定理。这就是两者的主要应用区别。参考：机械能守恒的使用条件是什么？

从本质上来看，动能定理和机械能守恒定律的本质是一样，都是功能原理，这也是学生容易混淆的原因。它们除了内容不一样外，主要的区别时适用条件不同：机械能守恒的条件是”在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能和势能可以互相转化，而总的机械能保持不变”，只有满足这条件的物理过程才能用机械能守恒定律列方程。

动能定理适用于一切过程，但对质点（质点系）有一个基本的要求，就是有相关性。这个相关性可以借助于如下三种特殊情况来理解：

（1）各个质点的速度v相等且方向相同。

（2）各个质点的速率v相等可方向不同。

（3）各个质点的角速度相等，方向不同。

这三种情况基本上囊括了主要的动能定理多物体（多质点系）应用的命题情景。

当然，还有其他的相关性，比如质点A的速度大小永远是质点B的速度大小的两倍，两者的运动方向始终不同。等等，这些都很类似，在此不作列举。

在应用动能定理和机械能守恒定律解题时很多学生混淆不清，不知道它们有什么区别。希望同学们能够借助这道例题，把两者关系彻底梳理清晰。（文/王尚）